In de wiskunde is een verzameling een basisbegrip dat zich niet laat definiëren in termen van andere begrippen, maar axiomatisch vastgelegd wordt. Cantor, de grondlegger van de verzamelingenleer noemde een verzameling informeel: een veelheid beschouwd als een, de totaliteit van in bepaalde zin bij elkaar behorende elementen. Twee verzamelingen zijn identiek, wanneer ze dezelfde elementen bevatten.
Inhoud |
In het dagelijkse spraakgebruik maken we ook gebruik van het begrip verzameling: we spreken van bestek als we (de verzameling van) lepels, vorken en messen bedoelen. Het servies van oma is een verzameling borden, schalen enz. Een pak speelkaarten is een ander woord voor een verzameling speelkaarten. In de wiskunde kennen we de verzameling van de natuurlijke getallen: {0,1,2,3,4, ...}, een totaliteit met als elementen de getallen 0, 1, 2, 3, 4, enz.
Hier geven we alleen een globaal overzicht van het concept verzameling. Dit overzicht is er op gericht om met verzamelingen te kunnen werken, en de belangrijke begrippen als afbeeldingen, functies, getallen en relaties te kunnen definiëren.
Voor een samenvatting van de notatie, zie: Symbolen uit de verzamelingenleer.
Voor een algemene bespreking van de verzamelingenleer, zoals ontwikkeld door Georg Cantor, zie verzamelingenleer. Voor een bespreking van de axiomatische verzamelingenleer zoals deze ontwikkeld is door Zermelo-Fraenkel, zie onder formele verzamelingenleer.
Een formele definitie kan hier niet gegeven worden. We volstaan ermee dat een verzameling bepaald wordt door zijn elementen. Deze elementen kunnen van alles zijn: getallen, andere verzamelingen, mensen, grassprieten.... Zo is bijvoorbeeld 4 een element van de verzameling der gehele getallen. Wanneer x een element is van de verzameling A, schrijven we x ∈ A.
Een verzameling kan gegeven worden door opsomming van zijn elementen. De verzameling wordt aangeduid door accolades rondom de opgesomde elementen te schrijven:
Een verzameling kan ook gegeven worden door beschrijving van z'n elementen. De bovengenoemde verzameling wordt dan als volgt aangeduid:
gelezen als: de verzameling van elementen x waarvoor geldt dat x een primaire kleur is.
We noemen twee verzamelingen gelijk wanneer ze dezelfde elementen bevatten. Formeel: A = B ↔ ∀x (x ∈ A ↔ x ∈ B)
Dat twee verzamelingen A en B gelijk zijn noteren we als A=B.
Het aantal elementen van een verzameling wordt de cardinaliteit van de verzameling genoemd.
De verzameling A wordt een deelverzameling van de verzameling B genoemd, als elk element van A ook element is van B (notatie: A ⊆ B). Iedere verzameling heeft als deelverzamelingen zichzelf (oneigenlijke deelverzameling) en de lege verzameling {}, meestal aangeduid door Ø.
Twee deelverzamelingen A en B worden disjunct genoemd wanneer zij geen gemeenschappelijke elementen hebben; hun doorsnede is dan leeg (de lege verzameling).
Een verzameling zal een deel zijn van het Universum U, waarmee in dit verband wordt bedoeld de verzameling met alle mogelijke elementen. Het complement A' van een verzameling A is dan de verzameling van alle elementen in U die niet in A zitten, notatie: A' = {x: x ∈ U ∧ x ∉ A}. A' wordt ook wel als de complementaire verzameling, kortweg het complement van A aangeduid.
We kunnen nu opmerken dat:
| Eigenschap | Doorsnede | Vereniging |
|---|---|---|
| Commutatief | A ∩ B = B ∩ A | A ∪ B = B ∪ A |
| Associatief | A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C | A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C |
| Er is een 0/1 element | A ∩ ∅ = ∅ | A ∪ U = U |
| Distributief | A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) | A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) |
Een partitie is een opdeling van een verzameling in niet lege, onderling disjuncte, deelverzamelingen, die wel blokken worden genoemd. Bijvoorbeeld: Als A={1,2,3,4,5,6,7,8}, dan is { {1,3}, {2,4,5,7}, {6,8} } een partitie van A met drie blokken.
Wanneer A een verzameling is, noemen we de verzameling van alle deelverzamelingen de machtsverzameling van A, notatie P(A) of 2A.
Om wat vooruit te lopen: de deelverzamelingen van een gegeven verzameling vormen samen een booleaanse algebra onder deze operatoren.
Voorbeelden van verzamelingen getallen zijn:
Venn-diagrammen, genoemd naar John Venn, vormen een illustratie van eigenschappen van verzamelingen.
De doorsnede van twee verzamelingen A en B is in het het voorbeeld in het licht paars gekleurde vlak aangegeven.
Enkele eenvoudige stellingen over verzamelingen:
Definitie: A - B = {x: x ∈ A ∧ x ∉ B} - (Het complement van B m.b.t. A).
De wetten van De Morgan luiden:
Men dient voorzichtig te zijn met verbale beschrijvingen van verzamelingen, omdat deze gemakkelijk tot paradoxen kunnen leiden. De axiomatische verzamelingenleer is geconstrueerd om deze paradoxen te vermijden.
Bijvoorbeeld: Laten we een verzameling "goed gemodelleerd" noemen wanneer het niet zichzelf als element bevat. Laat S de verzameling van alle goed gemodelleerde verzamelingen zijn. Is S goed gemodelleerd? Hierop is geen antwoord mogelijk, dit wordt de paradox van Russell genoemd. In de axiomatische verzamelingenleer kan een verzameling niet zichzelf als element hebben.
Vrijwel alle andere takken van de wiskunde worden gebaseerd op de verzamelingenleer. Zo wordt bijvoorbeeld kansrekening (waarschijnlijkheidsrekening) bedreven op basis van verzamelingenleer. Ook andere elementaire begrippen in de wiskunde, zoals functies worden gedefinieerd in termen van verzamelingen. Hierbij wordt gebruikgemaakt van het Cartesisch product.
Zie ook: bovengrens
