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Die Artikel Zahlensystem und Additionssystem überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Bitte äußere dich in der Diskussion über diese Überschneidungen, bevor du diesen Baustein entfernst. Röhrender Elch 23:32, 13. Mai 2008 (CEST) |
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Die Artikel Zahlensystem und Stellenwertsystem überschneiden sich thematisch. Hilf mit, die Artikel besser voneinander abzugrenzen oder zu vereinigen. Bitte äußere dich in der Diskussion über diese Überschneidungen, bevor du diesen Baustein entfernst. Röhrender Elch 23:32, 13. Mai 2008 (CEST) |
Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach den Regeln des jeweiligen Zahlensystems als Folge von Ziffern dargestellt.
Die moderne Forschung unterscheidet zwischen additiven, hybriden und positionellen Zahlensystemen.
Inhaltsverzeichnis |
In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der Werte ihrer Ziffern dargestellt. Dabei spielt die Position der einzelnen Ziffern keine Rolle.
Ein Beispiel ist das Strichsystem (Unärsystem), das sich anbietet, wenn etwas schriftlich mitgezählt werden soll (wie zum Beispiel die Getränke auf einem Bierdeckel). Hierbei wird die Zahl n durch n Striche dargestellt. Dies ist vermutlich eines der ältesten Zählsysteme überhaupt. Das Unärsystem wird bei der Darstellung größerer Zahlen sehr schnell unübersichtlich. Deshalb ist es meist üblich, die Zahlen in Blöcke zusammenzufassen, indem man etwa jeden fünften Strich quer über die vier vorangegangenen Einzelstriche legt. Obwohl es aus diesem Grund nicht geeignet ist große Zahlen darzustellen, wird es im Alltag dennoch in manchen Situationen verwendet. Eine Addition um einen Zahlenwert ist einfach durch das Hinzufügen eines Striches möglich. Herkömmliche Systeme lassen eine so einfache und schnelle Erweiterung im Allgemeinen nicht zu.
Ein derartiges Zahlensystem wurde schon vor ca. 5000 Jahren im alten Ägypten mit den Hieroglyphenzahlen verwendet.
Das Prinzip dieses Systems setzt für jede Potenz der Basis eine Ziffer, also z. B.: E=1, Z=10, H=100 und T=1000.
Die einzelnen Stellen wurden zumeist graphisch geordnet; im folgenden, prinzipiellen Beispiel nach den Dominoaugen.
HHH ZZZ E
1982 = T HHH Z Z
HHH ZZZ E
In Susa wurde fast zeitgleich – also noch während der proto-elamitischen Epoche – ein solches Zahlensystem entwickelt, genauso wie – ab dem zweiten vorchristlichen Jahrtausend – von den Minoern auf Kreta, sowie etwas später auch von den Hethitern. Von meso-amerikanischen Hochkulturen sind Zahlensysteme nach diesem Prinzip ebenfalls bekannt.
Der Nachteil dieses Systems ist, dass jede Stelle aus der analogen Wiederholung des gleichen Zeichens besteht, weshalb die alten Ägypter schon Mitte des dritten Jahrtausends jede Stelle hieratisch-handschriftlich zu einer einzigen Ziffer zusammenzogen. Diese hieratischen Zahlen dienten den späteren alphabetischen Zahlen zum Vorbild.
Die Verwendung eigener Zeichen für die „Halbzahlen“ verhindern eine allzu häufige Wiederholung des gleichen Zeichens.
Ein Beispiel hierfür bilden die Römischen Zahlen, welche neben den Buchstaben I, X, C und M als Symbole für 1, 10, 100 und 1000, ebenso auch V, L und D für 5, 50 und 500 benutzen.
Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit geschrieben und addiert. 1776 wird zum Beispiel als MDCC.LXXVI dargestellt. Um die Zahlen noch ein wenig kürzer zu halten, wurde das System später so modifiziert, dass jede Ziffer nur dreimal hintereinander auftreten darf. Steht eine kleinere Ziffer vor einer größeren, so wird die erstere von der letzteren abgezogen. So wurde VIIII zu IX. Diese Subtraktionsregel innerhalb des Additionssystems wird aber nicht immer beherzigt.
In Westeuropa wurde das römische Zahlensystem bis ins 15. Jahrhundert allgemein verwendet.
Bereits die hieratischen Zahlen (s. o.) gehorchten dem Prinzip der (im Dezimalsystem) jeweils neun verschiedenen Ziffern für jede verwendete Potenz der Basis.
Mitte des vierten vorchristlichen Jahrhunderts schufen die alten Griechen, ausgehend von diesen hieratischen Zahlen, die sogenannten alphabetischen Zahlen, indem sie die ersten 3×9 hieratischen Zahlen durch die Buchstaben ihres Alphabets ersetzten. Mittels der hybriden Verwendung der akrophonen Zahlen können auch große Zahlen dargestellt werden.
Außer in den weströmischen Gebieten, wo man stets an den römischen Zahlen festhielt, dominierte dieses progressive System – in ihren Adaptierungen an die jeweiligen Alphabete – sehr lange die Wissenschaft und Verwaltung von Persien, Armenien, Georgien, Arabien, Äthiopien, des Byzantinischen Reiches und des alten Russlands. Erst die indischen Ziffern lösten das System, nach viertausendjähriger Dominanz, allmählich ab. Im arabischen Raum schon Ende des ersten Jahrtausends, sonst erst Mitte des zweiten Jahrtausends.
Hierbei wird eine Grundzahl einem Zeichen vorangestellt, das eine Potenz der Basis wiedergibt, beide werden miteinander multipliziert. In den europäischen Zahlensystemen kamen solche Hybridsysteme so gut wie nicht vor, wohl aber, schon seit Beginn des zweiten Jahrtausends v. Chr., in Mesopotamien, später auch in China und im Nahen Osten allgemein. Sowohl aus Äthiopien, als auch aus Südindien und Ceylon, sowie der Maya-Kultur sind solche hybriden Zahlensysteme bekannt.
In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) bestimmt die Stelle (Position) den Wert der jeweiligen Ziffer. Die „niederwertigste“ Position steht dabei im Allgemeinen rechts.
Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b. Jede Zifferposition hat einen Wert, der einer Potenz der Basis entspricht. Für die n-te Position hat man einen Wert von bn-1.
Die Berechnung des Zahlenwertes erfolgt durch Multiplikation der einzelnen Ziffern zi mit den zugehörigen Stellenwerten bi und Summation dieser Produkte:
Zahlenwert = 
.
.Manchmal benötigt man Konvertierungen zwischen Stellenwertsystemen. Ist das Dezimalsystem nicht beteiligt, kann man es als Zwischenwert verwenden. Die nachfolgenden Berechnungen können auch mit Hilfe eines Taschenrechners durchgeführt werden, der in der Regel nur im Dezimalsystem rechnet.
Die Zahl 47 sei im Fünfersystem darzustellen. Dazu wird schrittweise durch die neue Basis 5 dividiert. Der verbleibenden Reste bilden die neue Zahl zur Basis 5.
Basis 10 : 47 ---------- | 47 | 2 | // 47 : 5 = 9 Rest 2 (Entspricht 5 hoch 0 im Ergebnis) ---------- | 9 | 4 | // 9 : 5 = 1 Rest 4 (Entspricht 5 hoch 1 im Ergebnis) ---------- | 1 | 1 | // 1 : 5 = 0 Rest 1 (Entspricht 5 hoch 2 im Ergebnis) ---------- Basis 5 : 142 =============
Die linke Spalte beginnt mit der zu konvertierenden Zahl in der ersten Zeile. In den folgenden Zeilen dieser Spalte stehen die Quotienten der darüberliegenden Zeile dividiert durch 5 (Basis des neuen Zahlensystems). In der rechten Spalte steht jeweils der Rest aus der Division der linken Spalte ebenfalls mit 5. Alle Zahlen der rechten Seite stellen die Ziffern des Ergebnisses dar. Dabei ist die Zahl der untersten Zeile die höchstwertigste Ziffer im Ergebnis. Die Rechnung entspricht dem Horner Schema — rückwärts.
Es sei die Zahl 142 aus dem Fünfersystem ins Zehnersystem umzuwandeln. Dazu wird schrittweise die alte Basis 5 multipliziert. Die Summe bildet die Zahl zur Basis 10.
Basis 5 : 142 ---------- | 1 | 1 | // 0 * 5 + 1 = 1 (entspricht 1 * 5 hoch 2) ---------- | 4 | 9 | // 1 * 5 + 4 = 9 (entspricht 4 * 5 hoch 1) ---------- | 2 | 47 | // 9 * 5 + 2 = 47 (entspricht 2 * 5 hoch 0) ---------- Basis 10 : 47 =============
In der linken Spalten stehen die Ziffern aus dem Fünfersystem (höchste Stelle von oben zuerst). In der rechten Spalte befinden sich die Zwischenergebnisse. Ein Zwischenergebnis entsteht durch Multiplikation des darüberstehenden Zwischenergebnisses mit 5 (Basis des Zahlensystems) plus links danebenstehende Ziffer des entsprechenden Stellenwertes im Fünfersystem. Die Tabelle entspricht dem Horner Schema.
Wiktionary: Zahlensystem – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und GrammatikÄgyptisch | Arabisch | Armenisch | Attisch | Babylonisch | Brahmi | Chinesisch | Etruskische | Glagolitisch | Griechisch | Hebräisch | Indisch | Japanisch | Khmer | Koreanisch | Kyrillisch | Maya | Römisch | Sanskrit | Thai
Anna Akhmatova et Marina Tsvetaeva
Deux femmes russes poètes prises au coeur de la tourmente russe du début du siècle, deux femmes russes reclues dans leur oeuvre face à un monde hostile. Ces deux femmes russes sont le visage de la Russie ancienne et moderne.
"Qu'une femme russe vaut bien plus, en somme que les hommes russes qui se battent, et que leur chagrin pour les hommes me fait aimer les femmes russes ici-bas."