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Wachstum

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Als Wachstum bezeichnet man den zeitlichen Anstieg einer bestimmten Messgröße. Es kann daher als mathematische Ableitung einer Funktion aufgefasst werden, die zu jedem Zeitpunkt einen bestimmten Wert der Messgröße zuordnet.

Das Gegenteil von Wachstum ist die Abnahme, im Falle von Volumenabnahme Schrumpfung genannt, beziehungsweise der Zerfall. In diesem Zusammenhang fällt oft der von der mathematischen Modellierung abgeleitete und umgangssprachlich missverstandene Begriff Negativwachstum.

Inhaltsverzeichnis

[Bearbeiten] Mathematische Beschreibung

Wachstum ist das zeitliche Verhalten einer System-Messgröße. Zunächst wird zu einem bestimmten Zeitpunkt t1 der Wert dieser Größe bestimmt. Zu einem späteren Zeitpunkt t2 wird der Wert dieser Größe wieder bestimmt.

Ist dieser zweite Wert W(t2) größer als der erste W(t1), dann spricht man von positivem Wachstum. Dieser Fall entspricht dem allgemeinen Sprachgebrauch.

Ist W(t2) kleiner als W(t1), ist also die Differenz W(t2) - W(t1) < 0, spricht man von negativem Wachstum.

Im Falle W(t2) = W(t1) spricht man von Nullwachstum.

[Bearbeiten] Darstellung von Wachstumskurven

Bei zahlreichen Messpunkten werden diese zur Veranschaulichung in einem Diagramm dargestellt, meistens als geschlossener Kurvenzug. Dabei sollte aber nicht vergessen werden, dass das tatsächliche Verhalten des Systems zwischen den Messpunkten wegen der Zeitdiskretisierung nicht bekannt ist und höchstens durch ein mehr oder weniger genaues Modell beschreibbar ist. Bei bestimmten Wachstumsarten können auch mathematische Modelle (Funktionen) zur Beschreibung des Verhaltens in einem Funktionsgraph Verwendung finden.

[Bearbeiten] Wachstumsarten

[Bearbeiten] linear

Ein Wachstum heißt lineares Wachstum, wenn die Änderungsrate konstant ist. Bei linearem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten B(t) = m \cdot t + c. Dabei ist m die Änderungsrate und c der Anfangsbestand B(0).

[Bearbeiten] exponentiell

Ein Wachstum heißt exponentielles Wachstum, wenn für jeden Zeitschritt

B_{\mathrm{neu}} = a \cdot B_{\mathrm{alt}}

gilt mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl a (Wachstumsfaktor). Bei exponentiellem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten

B(t) = B(0) \cdot a^t.

[Bearbeiten] beschränkt

Ein Wachstum heißt beschränktes Wachstum mit der Schranke (Kapazität) S, wenn sich der Bestand B(t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k \cdot [S - B(t)] ändert mit einer für alle Zeitschritte gleichen Zahl k, wenn also die Änderungsrate zum Sättigungsmanko SB(t) proportional ist. Bei beschränktem Wachstum gilt für den Bestand B(t) nach t Zeitschritten:

B ( t )=S - [S - B(0)]\cdot a^{-t}=S - [S - B(0)] \cdot q^t \quad \text{, wobei} \quad q=1/a

[Bearbeiten] logistisch

Logistische Funktion mit der Schranke S = 1
Logistische Funktion mit der Schranke S = 1

Ein Wachstum heißt logistisches Wachstum mit der Schranke S, wenn sich der Bestand B(t) nach t Zeitschritten im nächsten Zeitschritt um k \cdot B (t) \cdot [S - B(t)] ändert, wenn also die Änderungsrate zum Produkt aus Bestand und Sättigungsmanko proportional ist.

Die Differenzbildung von S und B(t) zeigt, dass S die gleiche Dimension hat wie B(t). Die Schranke S ist also keine Wachstumsgrenze, sondern eine Bestandsgrenze. Daraus ergibt sich, dass das Wachstum (W) nicht dem Verlauf der logistischen Funktion (LF) folgt. Sondern der Bestand folgt der logistischen Funktion. Das logistische Wachstum dagegen folgt dem Verlauf der ersten Ableitung der logistischen Funktion. Das ist eine Glockenkurve (die wiederum nicht mit einer Gauss-Kurve verwechselt werden sollte).

Neben der Ableitung W selbst ist auch das Produkt aus W und LF interessant (orange Kurve in der Grafik). Dieses Produkt ist das mit der logistischen Funktion gewichtete Wachstum. Beschreibt die logistische Funktion beispielsweise einen Markt als „Bestand“, so bewirkt ein Wachstum im Sättigungsbereich (oberer Teil der logistischen Funktion) absolut einen größeren Umsatz als das gleiche Wachstum im Bereich der Emergenz des Marktes (unterer Teil der logistischen Funktion). Der Verlauf dieses gewichteten Wachstums ist aber bei zunehmender Marktsättigung genauso einem Rückgang unterworfen, wie das Wachstum des Marktes selbst.

Eine andere Praxis der Gewichtung des Wachstums erklärt die Unterschiede der Wahrnehmung von Wachstum einerseits aus wirtschaftlicher und andererseits aus physikalischer Sicht. Eine in der Natur der logistischen Funktion begründete Eigenschaft dieser Funktion ist, dass man dem glockenförmige Wachstum mit einer zeitabhängigen Normierung wieder den Verlauf einer logistischen Funktion geben kann. Normiert wird das Wachstum W = dB(t)/dt hierbei mit dem Sättigungsmanko S − B(t). „Sättigungsmanko“ steht dabei für den Bereich, in dem sich noch Bestand verändern kann. Das Resultat ist das mit dem sich immer weiter verkleinernden Sättigungsmanko gewichtete Wachstum W / [S − B(t)]. Dieses gewichtete Wachstum hat wieder den Verlauf einer logistischen Funktion. Die Operation einer derartigen zeitabhängigen Normierung kann in einem System geschehen, in dem nur Geld als Kommunikationsmedium[1] dient und in dem das gesamte zur Kommunikation zur Verfügung stehende Geld den Wert des Sättigungsmankos S − B(t) zeitabhängig repräsentiert. In dieser Weise wird in Wirtschaftssystemen Wachstum von Wert kommuniziert, das sich aus zunehmender Knappheit ergibt. Denn tatsächlich wächst wegen des kleiner werdenden Sättigungsmankos (also wegen der zunehmenden Sättigung) in der physikalischen Umwelt des Wirtschaftssystem die Knappheit in dieser Umwelt, die das Wirtschaftssystem nicht direkt wahrnimmt, aber mit der sie doch über strukturelle Kopplung verbunden ist.

[Bearbeiten] nach Zeitverlauf

Wachstum lässt sich nach der Art seiner Zeitverläufe charakterisieren, wie er im Graphen Messgröße x vs. Zeit t dargestellt ist.

Das abgebildete logistische Wachstum ist als lineare Transformation des hyperbolischen Tangens darstellbar und beschreibt das begrenzte Wachstum einer Größe (z. B. Ressourcen-Konsum, Bevölkerungszuwachs usw.). Das Wachstum hat eine Sättigungsgrenze. Die Größe selbst nimmt aber theoretisch weiter unbegrenzt zu. Das Wachstum dieser Größe ist einer Sigmoid-Kurve mit einem glockenförmigen Verlauf. Die Größe selbst hat nun eine Sättigungsgrenze. Es gibt dann vier Abschnitte: (1) eine theoretisch unendlich lange Periode sehr geringen Wachstums, (2) eine kurze Periode ansteigenden hohen Wachstums, (3) eine kurze Periode sinkenden hohen Wachstums und schließlich wieder (4) eine theoretisch unendlich lange Periode sehr geringen Wachstums.

[Bearbeiten] Wachstumsschwankungen

Dem Trend ist eine Schwankung zwischen mehreren Grenzwerten überlagert:

[Bearbeiten] Nach Einheiten der Messgröße

[Bearbeiten] Raumdimensionen

Strecken 
Wachstum der Länge des Schienennetzes
Flächen 
Wachstum der versiegelten Flächen
Volumen 
Größerwerden eines Luftballons

Kombinationen daraus findet man beim Wachstum eines Organismus als Ganzes oder seiner Teile: Zellwachstum, Längenwachstum des Menschen; siehe auch Somatotropin (Wachstumshormon) und Kleinwuchs.

[Bearbeiten] Anzahl

Zunahme der absoluten Menge oder des Prozentsatzes, Vermehrung: Bevölkerungswachstum, Bakterienkultur, Geldwachstum.

Das Infekt-Modell ist eine Rückkopplungsfunktion, die Ausbreitungsvorgänge (Krankheiten, Gerüchte, Witze …) in geschlossenen Populationen beschreibt (s. Bild begrenztes Wachstum). Siehe auch Feigenbaumdiagramm.

[Bearbeiten] Wachstum eines Index

Wirtschaftswachstum beschreibt das Wachstum einer Volkswirtschaft. Parametrisiert wird dieses u. a. durch das Bruttoinlandsprodukt.

Wachstum beschreibt in der Betriebswirtschaftslehre das Wachstum von Kapazitäten. Parametrisiert wird dieses u.a. durch den Engpass an einem bestimmten Produktionsfaktor. Dieser hat in einem Operations Research System einen Schattenpreis.

[Bearbeiten] Wachstum der Komplexität

Siehe dazu Internet, Informationsflut, Gehirn

[Bearbeiten] Anwendungsgebiete

[Bearbeiten] Biologisches Wachstum

In der Physiologie ist das Wachstum durch die Differenz zwischen anabolem Ansatz und katabolem Abbau definiert. Man spricht von Wachstum, wenn die Größe eines Organismus zunimmt, ohne dass sich dessen äußere Gestalt ausschlaggebend verändert.

Wachstum kommt zustande durch:

Vergleiche auch Wachstumsstörung, Atrophie.

[Bearbeiten] Wirtschaft

Unter Wirtschaftswachstum versteht man die Änderung des Bruttoinlandsprodukts (BIP) von einer Periode zur nächsten, siehe Hauptartikel Wirtschaftswachstum.

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Quellen

  1. Niklas Luhmann: Die Wirtschaft der Gesellschaft, 1988, ISBN 3518287524

[Bearbeiten] Literatur

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary
 Wiktionary: Wachstum – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
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 Wiktionary: wachsen – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik
Wikiquote
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