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Ein statisches System (Körper, Tragwerk, Stabtragwerk) ist statisch bestimmt gelagert, wenn die Anzahl seiner Lagerreaktionen (Auflagerbedingungen) der Anzahl seiner Freiheitsgrade entspricht und die Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der äußeren Belastung berechnet werden können. Das gilt auch für alle Schnittgrößen an beliebigen Teilsystemen.
Alle anderen Systeme sind statisch unbestimmt.
Inhaltsverzeichnis |
Zur Berechnung aller statisch bestimmten Systeme genügen als Hilfsmittel die Gleichgewichtsbedingungen:
Um die statische Bestimmtheit eines Systems aus starren Körpern, die über Verbindungselemente miteinander verbunden sind, zu prüfen, kann eine notwendige Bedingung ausgewertet werden.
Hierzu sind die Wertigkeiten sämtlicher Verbindungselemente und der Auflager zu bestimmen und folgende Formel auszuwerten:
n = j+i-3k
Hierbei sind:
j: Summe aller Wertigkeiten der Lager s: Summe aller Wertigkeiten der Verbindungen k: Anzahl der freizuschneidenene starren Körper.
Jede Wertigkeit entspricht einer zu bestimmenden Größe (Kräfte oder Momente), während an jedem Körper die oben genannten 3 Gleichgewichtsbedingungen (ebener Fall) formuliert werden können.
Für ebene Fachwerke (D.h. Stäbe, die nur Zug oder Druckkräfte übertragen, werden über Gelenken verbunden. Alle Knoten übertragen nur Kräfte aber keine Momente.) findet man folgende Formel.
n = a+s-2z
Hierbei sind:
a: Anzahl der Auflagerreaktionen s: Anzahl der Stäbe z: Anzahl der Gelenke
Die Formel ergibt sich aus der Überlegung, dass in jedem Knoten 2 Gleichgewichtsbedingungen formuliert werden können (kein Moment!). Unbekannt sind die Lagerreaktionen und die Normalkräfte in den Stäben. Diese Gleichung stellt somit einen Spezialfall der obigen allgemeineren Formel dar. Während die erste Formel auf dem Freischneiden der einzelnen Körper beruht, beruht die zweite Formel auf der Auswertung der Gleichgewichtsbedingungen in jedem Gelenk (und entspricht damit in der Herangehensweise dem Knotenpunktverfahren).
Um räumliche Systeme zu erfassen, lassen sich analoge Beziehungen formulieren.
Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager, Temperaturdehnungen, Kriechen und Schwinden des Betons verursachen in statisch bestimmten Systemen keine zusätzlichen Schnittgrößen. In statisch unbestimmten Systemen allerdings entstehen normalerweise immer zusätzliche Schnittgrößen und Spannungen. Um diese Systeme berechnen zu können, muss man Formänderungen und Steifigkeiten der Stäbe mit in die Betrachtungen einbeziehen.
Bei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmäßig und anschaulich, zwischen äußerer und innerer statischer Bestimmtheit oder Unbestimmtheit zu unterscheiden. Ein System oder Systemteil heißt äußerlich statisch bestimmt, falls die äußeren Lagerreaktionen allein mit den Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können. Ein System heißt innerlich statisch bestimmt, falls die Schnittgrößen (Reaktionen) an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können.
Einfache statisch bestimmte Systeme sind:
Einfache statisch unbestimmte Systeme sind:
(je nach Anzahl der überspannten Felder und der Auflagerbedienungen kann ein Durchlaufträger auch mehrfach statisch unbestimmt sein!)
Beispiele für ein äußerlich bestimmtes, innerlich aber unbestimmtes System: