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Schwerpunkt

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Der Schwerpunkt oder das Gravizentrum (engl. Center of Gravity, COG bzw. C/G) eines Körpers ist sein Mittelpunkt in Bezug auf die Schwerkraft. Davon abgeleitet wird der Begriff auch in der Geometrie wie auch im übertragenen Sinn verwendet.

Inhaltsverzeichnis

1 Physikalischer Schwerpunkt
- 1.1 Bestimmung des Schwerpunktes
2 Geometrischer Schwerpunkt
3 Weblinks

[Bearbeiten] Physikalischer Schwerpunkt

Im Sinne der klassischen Mechanik ist der Schwerpunkt der Punkt, an dem die Masse des Körpers die gleiche Wirkung auf andere Körper hätte, wenn sie in diesem Punkt vereint wäre. Umgekehrt kann man die Gravitation, die auf alle Massenpunkte des Körpers wirkt, durch eine einzige Kraft darstellen, die im Schwerpunkt angreift.

Wenn ein Körper weit genug von anderen Körpern entfernt ist bzw. wenn er sehr klein ist im Vergleich zum anziehenden Körper, dann kann man den Körper als einen Massenpunkt annähern, dessen Masse im Schwerpunkt vereinigt ist. Das gilt zum Beispiel für einzelne Planeten im Weltraum oder für Gegenstände auf der Erdoberfläche. Wenn sich die Stärke des Gravitationsfeldes nur wenig ändert, so dass sie über der ganzen Ausdehnung des Körpers als konstant angenommen werden kann, dann fällt der Schwerpunkt nahezu mit dem Massenmittelpunkt zusammen. Das gilt zum Beispiel für Körper auf der Erdoberfläche oder Satelliten in einer Umlaufbahn, nicht aber für den Mond oder auch die Erde in Bezug auf das Gravitationsfeld des Mondes. In der Nähe eines Schwarzen Loches würde selbst für einen kleinen Körper wie ein Raumschiff oder sogar einen Menschen das Gravitationsfeld für verschiedene Teile des Körpers merklich verschieden sein. In einem solchen Fall treten Gezeitenkräfte auf.

Ist ein Körper homogen, besteht er also aus einem Material, das überall die gleiche Dichte hat, so entspricht sein Massenmittelpunkt und damit näherungsweise auch sein Schwerpunkt dem geometrischen Volumenschwerpunkt, der weiter unten erklärt wird. Besteht der Körper aus Teilen verschiedener Dichte, kann der Massenmittelpunkt vom Volumenschwerpunkt abweichen. Wenn die Verteilung der Dichte innerhalb des Körpers bekannt ist, kann der Massenmittelpunkt durch Integration berechnet werden. Dies war der Anlass, aus dem Isaac Newton die Infinitesimalrechnung entwickelte (gleichzeitig mit Leibniz).

Der Trägheitsschwerpunkt eines Körpers, also der Mittelpunkt bezüglich des Trägheitsmoments, fällt mit seinem Massenmittelpunkt zusammen. Er kann also bei einem ausgedehnten Körper bzw. in einem sich über kurze Entfernungen ändernden Gravitationsfeld vom Schwerpunkt abweichen. Liegt beispielsweise ein (homogener) Ziegelstein auf einem Tisch, so ist dessen untere Hälfte etwas dichter am Erdmittelpunkt als die obere Hälfte, weshalb die unterschiedlich starke Gravitation dazu führt, dass der (Gravitations-)Schwerpunkt ein wenig näher am Erdmittelpunkt („unten“) liegt als der Massenmittelpunkt bzw. Trägheitsschwerpunkt.

In der Himmelsmechanik bezeichnet man den Massenschwerpunkt eines Systems von mehreren Himmelskörpern als Baryzentrum. Im Schwerpunktsystem wird der Schwerpunkt als Koordinatenursprung verwendet. Siehe auch: Mehrkörper-System

Bei alldem muss man sich darüber im Klaren sein, dass der Schwerpunkt eines Körpers nicht unbedingt im Inneren des Körpers liegen muss. Das gilt natürlich für Körper mit Hohlräumen, kann aber auch ganz allgemein für beliebige nichtkonvexe Körper gelten. Beispiele dafür sind der Torus, ein mondsichelförmiger Bogen oder so triviale Alltagsgegenstände wie eine Tasse oder eine Schale.

[Bearbeiten] Bestimmung des Schwerpunktes

Der Schwerpunkt liegt unter dem Aufhängepunkt auf der „Schwerlinie“.

Bestimmung des Schwerpunkts als Schnittpunkt der „Schwerlinien“.

Aus den obigen Ausführungen gelangt man zu einem einfachen Verfahren zur annähernden Bestimmung des Schwerpunktes eines beliebigen starren Körpers, wobei die Näherung darin besteht, die Abweichungen von Schwerpunkt und Massenmittelpunkt und damit auch die Veränderungen der Lage des Schwerpunktes bei Drehung des Körpers (verbunden mit Gravitationskraftänderungen in den einzelnen Körperregionen) unberücksichtigt zu lassen: Hängt man den Körper an einem beliebigen Punkt auf, so liegt (in Ruhe) der (näherungsweise) Schwerpunkt auf der lotrechten Linie (= „Schwerlinie“) durch den Aufhängepunkt (blaue Linie im Bild rechts).

Wiederholt man dies mit einem anderen Aufhängepunkt, so findet man den (näherungsweisen) Schwerpunkt als Schnittpunkt zweier solcher Geraden („Schwerlinien“). Dass ein solcher Schnittpunkt tatsächlich existiert und unabhängig von der Wahl der Aufhängepunkte ist, ist allerdings weniger trivial, als der erste Anschein glauben lässt.

Verblüffend ist die folgende Methode, um den Schwerpunkt eines schmalen und länglichen Gegenstandes (z. B. Lineal oder Besen) zu bestimmen: Man lege den Gegenstand quer über die beiden auf gleicher Höhe nach vorne ausgestreckten Zeigefinger, was leicht möglich ist, solange die Finger noch weit von einander entfernt sind. Nun bringe man langsam die Zeigefinger näher zueinander, bis sie sich berühren, wobei man sie stets auf möglichst gleicher Höhe hält. Sofern man dies langsam genug macht, gleitet der Gegenstand langsam über die Finger, ohne nach einer Seite zu kippen. Auf den Finger, der dem Schwerpunkt näher liegt, lastet jeweils ein stärkerer Druck, was zu einer stärkeren Reibung führt, d. h. der Gegenstand gleitet vornehmlich über den anderen Finger. Hierdurch regelt sich das System so ein, dass bei beiden Fingern in etwa dieselbe Reibung vorliegt und der Schwerpunkt sich in ihrer Mitte befindet. Schließlich berühren sich also die Zeigefinger, der Gegenstand liegt nach wie vor waagerecht und der Schwerpunkt liegt über den beiden Fingern. (Ist der Gegenstand allerdings zu sehr gebogen, ergibt sich der oben erwähnte Effekt und der Schwerpunkt liegt unterhalb des Unterstützungspunktes.)

[Bearbeiten] Geometrischer Schwerpunkt

Den Schwerpunkt einer Fläche oder eines Körpers kann man mit Mitteln der Mathematik, der Geometrie, berechnen, oder, wenn die Fläche bzw. der Körper aus homogenem Material hergestellt wird, rein mechanisch durch Balancieren bestimmen. Letztere Methode wird oft (an Modellen) angewandt, wenn es um geografische Mittelpunkte von Kontinenten oder Ländern geht (z. B. Mittelpunkt Europas, Mittelpunkt Deutschlands).

[Bearbeiten] Beispiele geometrischer Flächen

[Bearbeiten] Ebene Flächen

Bei ebenen Flächen lässt sich der Schwerpunkt allgemein dadurch ermitteln, dass man die ausgeschnittene Fläche an einem Punkt aufhängt und die Lotgerade, eine so genannte Schwerelinie einzeichnet. Der Schnittpunkt zweier Schwerlinien ist der Schwerpunkt. Alle weiteren Schwerelinien schneiden sich ebenfalls in diesem Schwerpunkt.

Dreieck	$y_s=\frac{h_b}{3},x_s=\frac{b+\xi}{3}$ , Der Schwerpunkt eines Dreiecks liegt im Schnittpunkt der Seitenhalbierenden. Man nennt sie daher auch Schwerlinien. Trilineare Koordinaten: $\frac{1}{a} \, : \, \frac{1}{b} \, : \, \frac{1}{c}$ $= \, bc \, : \, ca \, : \, ab$ $= \, \csc\alpha \, : \, \csc\beta \, : \, \csc\gamma$ Baryzentrische Koordinaten: $1 \, : \, 1 \, : \, 1$
Trapez	Der Schwerpunkt des Trapezes lässt sich folgendermaßen konstruieren: Eine Schwerelinie halbiert die beiden parallelen Seiten. Eine zweite erhält man, indem man die parallelen Seiten um die Länge der jeweils anderen in entgegengesetzten Richtungen verlängert, und die beiden Endpunkte miteinander verbindet. Die Formel in kartesischen Koordinaten lautet: $y_s=\frac{h}{3}\cdot \frac{a+2b}{a+b}, x_s=\frac{a^2-b^2+\xi(a+2b)}{3(a+b)}$
Polygon	Der Schwerpunkt eines nicht überschlagenen, geschlossenen Polygons mit N Eckpunkten kann wie folgt berechnet werden^[1] (der nullte Eckpunkt (x₀ , y₀) und der N-te Eckpunkt (x_N , y_N) sind hierbei identisch): Die Fläche des Polygons ist: $A = \frac{1}{2}\sum_{i=0}^{N-1} (x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$ Der Flächenschwerpunkt des Polygons ist: $C_x = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(x_i+x_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$ $C_y = \frac{1}{6A}\sum_{i=0}^{N-1}(y_i+y_{i+1})(x_i\ y_{i+1} - x_{i+1}\ y_i)$
Halbkreis	$y_s=\frac{4r}{3\pi}$

[Bearbeiten] Räumliche (gekrümmte) Flächen

Mantel von Pyramide und Kegel: $z_s=\frac{h}{4}$

Die Schwerpunktdarstellung im Pyramidenbild scheint falsch
1/4 h wäre richtig für das Volumen
1/3 h ist richtig für den Mantel

Schwerpunkt eines Rotationsparaboloids: $y_s=\frac{h}{3}$

[Bearbeiten] Schwerpunkt einer Linie

beliebiger flacher Bogen:	$z_s\approx\frac{2h}3$
Kreisbogen:	$y_s=\frac{r\sin\alpha}\alpha=\frac{rl}b$ (mit $α$ in Bogenmaß) $y_s=\frac{180^\circ r\sin\alpha}{\pi\alpha}=\frac{rl}b$ (mit $α$ als Winkelmaß)

Siehe auch: Rotationsfläche, Rotationskörper

[Bearbeiten] Zusammenfassen von Schwerpunkten

Es ist möglich, mehrere Schwerpunkte einzelner einfacher Elemente zu einem gemeinsamen Schwerpunkt zusammenzufassen.

1-dimensional	2-dimensional	3-dimensional	allgemein
$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot l_i)}{\sum\limits_i l_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot A_i)}{\sum\limits_i A_i}$	$x_s=\frac{\sum\limits_i (x_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $y_s=\frac{\sum\limits_i (y_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$ $z_s=\frac{\sum\limits_i (z_{s,i} \cdot V_i)}{\sum\limits_i V_i}$	$\vec{r}_s=\frac{1}{m}\sum\limits_i \vec{r}_i m_i$

Der Abstand $x s$ (bzw. $y s$ , $z s$ ) ist jener von einem frei wählbaren Koordinatenursprung. Weist eine Fläche (ein Körper) Aussparungen auf, so können obige Summenformeln ebenfalls angewendet werden, jedoch muss beachtet werden, dass die ausgesparten Flächen (Volumen) mit negativem Vorzeichen in die Berechnung mit eingehen.

[Bearbeiten] Schwerpunkt von Flächen und Körpern, deren Begrenzung durch den Graphen einer Funktion gegeben ist

In den vorherigen Abschnitten wurden ausschließlich Flächen und Körper behandelt, deren Gestalt bestimmten geometrischen Grundformen entspricht. Wenn dieser Sachverhalt nicht gegeben ist und die Begrenzung von Körpern bzw. Flächen durch Graphen von Funktionen gegeben sind, so kommt zur Berechnung der Schwerpunktskoordinaten die Integralrechnung zur Anwendung.

Dann gilt:

2-dimensional	3-dimensional
$x_s=\frac{1}{A}\int_A x dA$ $y_s=\frac{1}{A}\int_A y dA$	$x_s=\frac{1}{V}\int_V x dV$ $y_s=\frac{1}{V}\int_V y dV$ $z_s=\frac{1}{V}\int_V z dV$

Zur praktischen Bestimmung der x-Koordinate des Schwerpunktes im 2-dimensionalen Fall substituiert man $d A$ mit $y\cdot dx$ , was einem infinitesimalen Flächenstreifen entspricht. Ferner entspricht hierbei $y$ der die Fläche begrenzende Funktion $y (x)$ .

Für die praktische Berechnung der y-Koordinate im 2-dimensionalen Fall gibt es prinzipiell zwei Vorgehensweisen:

entweder man bildet Umkehrfunktion $x (y)$ und berechnet das Integral $\int_A y dA = \int_y y\cdot x(y)\cdot dy$ , wobei die „neuen“ Integrationsgrenzen nun auf der y-Achse zu finden sind.
oder man nutzt aus, dass der Schwerpunkt eines jeden zur y-Achse parallelen infinitesimalen Flächenstreifen $\frac{y(x)}{2}$ ist. Dann erhält man zur Bestimmung der y-Koordinate eine einfachere Formel, mit deren Hilfe das Bilden der Umkehrfunktion erspart bleibt:

$y_s=\frac{1}{A}\int_A y dA = \frac{1}{A}\int_x y\cdot\frac{y}{2}\cdot dx$

[Bearbeiten] Beispiel: Schwerpunkt einer Parabel

Wir suchen den Flächenschwerpunkt jener Fläche, die durch eine Parabel $y 1 = x 2 - 4$ und durch die x-Achse definiert ist.

Zuerst bestimmen wir den Inhalt A der Fläche

$A = \int\limits_{-2}^2 (x^2-4)\,dx = -\frac{32}3$

Die $x$ -Koordinate des Schwerpunktes ergibt sich zu

$x_s = \frac 1A\int\limits_{-2}^2 x\cdot (x^2-4)\,dx = 0.$

Die $y$ -Koordinate ergibt sich zu

$\begin{align} y_s &= \frac 1A\int\limits_{-2}^2 y\cdot\frac y2\,dx\\ &= \frac 1{2A}\int\limits_{-2}^{2} y^2\,dx\\ &= \frac 1{2A}\int\limits_{-2}^2 (x^4-8x^2+16)\,dx\\ &= -1{,}6. \end{align}$

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary: Schwerpunkt – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik

Herleitung von Formeln zum Schwerpunkt

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