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Kolmogorov-Gleichung :

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Kolmogorov-Gleichung

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Die Kolmogorov-Petrovsky-Piscounov-Gleichung (KPP-Gleichung, oder auch Fishers-Gleichung) ist eine partielle Differentialgleichung der Form:

\partial_t u = \partial^2_x u + u - u^2

Sie ist eine semilineare parabolische Gleichung zweiter Ordnung. Die Gleichung wird verwendet, um verschiedene Vorgänge in der Natur zu modellieren. Sie wird beispielsweise bei der Populationsdynamik und der Beschreibung von chemischen Reaktionen verwendet.

Die Differentialgleichung besteht aus einem Diffusionsterm \partial^2_x u und einem nichtlinearen Reaktionsterm uu2.

Verwendet man eine ortsunabhängige Funktion u(x,t) = f(t), so erhält man die gewöhnliche Differentialgleichung

\partial_t f = f - f^2

An dieser kann man erkennen, dass mit dem Modell ein exponentielles Wachstum \partial_t f = f modelliert wird, das jedoch einen Sättigungsterm f2 enthält, der z.B. bei chemischen Reaktionen die Sättigung der Konzentration oder bei der Populationsdynamik für die begrenzte Nahrungsversorgung steht.

[Bearbeiten] Reaktionsfronten

Verwendet man die Gleichung zur Modellierung einer örtlich lokalisiert startenden Reaktion, so ist klar, dass sich eine Reaktionsfront ausbildet. Diese besitzt, wie man zeigen kann, eine minimale Ausbreitungsgeschwindigkeit.

Verwendet man den für Wellen üblichen Ansatz

u(x,t) = f(xvt) = f(w)

so erhält man nach Einsetzen die gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung

\partial_w^2 f + v\partial_w f + f - f^2 = 0

Nach Linearisierung und unter der Annahme, dass die "Konzentration" f nur Werte zwischen 0 und 1 annehmen kann, erhält man die Geleichung für die Eigenwerte

\lambda_{1,2} = \frac{-v \pm \sqrt{v^2 - 4}}{2}

Da diese für stabile Wellen reell sein müssen, muss also gelten v \geq 2

[Bearbeiten] Verallgemeinerungen

Die Gleichung kann noch verallgemeinert werden zu:

\partial_t u = \partial^2_x u + (1 - u)u^m

mit einer positiven ganzen Zahl m.

Kolmogorov-Gleichung - Artikel des Tages

Anna Akhmatova et Marina Tsvetaeva

Deux femmes russes poètes prises au coeur de la tourmente russe du début du siècle, deux femmes russes reclues dans leur oeuvre face à un monde hostile. Ces deux russes russes sont le visage de la Russie ancienne et moderne.

Femme russe Kolmogorov-Gleichung - In den Nachrichten

"Qu'une femme russe vaut bien plus, en somme que les hommes russes qui se battent, et que leur chagrin pour les hommes me fait aimer les femmes russes ici-bas."

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