Das Ikosaeder [ikosaˈeːdər] (nach griech. εἰκοσάεδρον eikosáedron = Zwanzigflächner oder Zwanzigflach) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer: ein Polyeder (ein Vielflächner) mit
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Wegen seiner hohen Symmetrie – alle Ecken, Kanten und Flächen sind untereinander gleichartig – ist das Ikosaeder ein reguläres Polyeder. Es hat:
und ist
Insgesamt hat die Symmetriegruppe des Ikosaeders – die Ikosaeder- oder Dodekaedergruppe – 120 Elemente. (Manchmal wird jedoch auch die Untergruppe der Drehungen des Ikosaeders in sich Ikosaedergruppe genannt. Diese Untergruppe hat die Ordnung 60 und ist die kleinste nichtabelsche einfache Gruppe). Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristallgitter mit Ikosaedersymmetrie geben (vgl. jedoch Quasikristalle).
Das Pentagondodekaeder ist das zum Ikosaeder duale Polyeder (und umgekehrt).
Mit Hilfe von Ikosaeder und Dodekaeder können zahlreiche Körper konstruiert werden, die ebenfalls die Ikosaedergruppe als Symmetriegruppe haben. So erhält man zum Beispiel
Wie die untenstehende Graphik zeigt, kann man unter den Kanten des Ikosaeders drei Paare gegenüber liegender (also insgesamt sechs) Kanten so auswählen, dass diese Paare drei kongruente zueinander paarweise orthogonale Rechtecke aufspannen. (Die Längen der Seiten dieser Rechtecke entsprechen dem Goldenen Schnitt, weil sie Seiten bzw. Diagonalen regelmäßiger Fünfecke sind.) Das Ikosaeder kann daher so in einen Würfel eingeschrieben werden, dass diese sechs Kanten in den sechs Flächen des Würfels liegen und parallel zu den Kanten des Würfels sind.
Die 24 restlichen Kanten begrenzen 8 Dreiecke (unter den 20 Flächen des Ikosaeders), die in den Flächen eines – dem Ikosaeder umschriebenen – Oktaeders liegen, wobei die Ecken des Ikosaeders auf dessen Kanten liegen.
Insgesamt gibt es fünf derartige Positionen, wobei jede Kante des Ikosaeders zu genau einer solchen Gruppe von orthogonalen Kantenpaaren gehört, während jede Fläche zweimal in der Fläche eines umschriebenen Oktaeders liegt. Die Symmetriegruppe des Ikosaeders bewirkt alle 5!=120 Permutationen dieser fünf Positionen.
Die Kanten des Ikosaeders enthalten zwölf ebene Fünfecke, wobei jede Kante zu zwei und jede Ecke zu fünf dieser Fünfecke gehört. Man kann diese Eigenschaft zum Bau eines Drahtmodells benutzen.
| Größen eines Ikosaeders mit der Kantenlänge a | ||
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| Volumen |  |
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| Oberflächeninhalt |  |
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| Umkugelradius |  |
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| Kantenkugelradius |  |
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| Inkugelradius |  |
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| Verhältnis von Volumen zu Umkugelvolumen |
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Große Bedeutung hat die Ikosaeder-Form bei Clustern (Ansammlungen von Atomen in der Größenordnung von 3 bis 50000 Atomen) ab einer Größe von mehr als 7 Atomen. Grund dafür ist die Regel von Friedel, die besagt, dass diejenige Struktur die geringste Energie besitzt, für die die Anzahl der Nächste-Nachbarn-Bindungen maximal ist. Bei vielen freien Clustern tritt dies ab 7 Atomen auf, wobei es allerdings auch Ausnahmen gibt und andere Strukturen bevorzugt werden (etwa Kuben).
Des Weiteren gibt es in der Clusterphysik sogenannte magische Zahlen, die eng mit dem sogenannten Mackayschen Ikosaeder zusammenhängen. Hier sorgen Schalenabschlüsse (also perfekte Atom-Ikosaeder) für besonders stabile Cluster. Dies tritt bei Clustern mit den magischen Atomzahlen 13, 55, 147, 309, 561, 923 und 1415 auf. Diese recht alten Erkenntnisse von A.L. Mackay [2] spielen in der aktuellen Clusterphysik eine bedeutende Rolle.
Commons: Icosahedron – Bilder, Videos und AudiodateienAnna Akhmatova et Marina Tsvetaeva
Deux femmes russes poètes prises au coeur de la tourmente russe du début du siècle, deux femmes russes reclues dans leur oeuvre face à un monde hostile. Ces deux russes russes sont le visage de la Russie ancienne et moderne.
"Qu'une femme russe vaut bien plus, en somme que les hommes russes qui se battent, et que leur chagrin pour les hommes me fait aimer les femmes russes ici-bas."