Hochzusammengesetzte Zahl

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Der mathematische Terminus hochzusammengesetzte Zahl – im Englischen oft abgekürzt: HCN – hat zwei verwandte Bedeutungen:

• Eine hochzusammengesetzte Zahl ist eine positive ganze Zahl, die mehr Teiler besitzt als jede kleinere positive ganze Zahl zuvor.
• In seiner zweiten Bedeutung ist der Begriff der hochzusammengesetzte Zahl auch ein Synonym zum Begriff der 7er glatten Zahl. Dies ist die Folge A002473 in OEIS.

Diese mathematische Folge schließt also alle möglichen Produktzahlen, gebildet aus den ersten vier Primzahlen, also 2, 3, 5 und 7, mit ein. Da eben diese Primzahlen in den auf hochzusammengesetzten Zahlen hin orientierten, vormetrischen, alten Maßen und Gewichten omnipräsent sind, spielt diese Folge besonders in der modernen Forschung zur historischen Metrologie eine äußerst wichtige Rolle.

Im Unterschied zur zweiten Definition lässt die erste Definition prinzipiell alle Primzahlen zu. Des Weiteren stellt sie zur Bedingung, dass die Anzahl der Teiler stets größer sein muss als die der vorangegangene Zahl.

Die ersten zwanzig hochzusammengesetzten Zahlen – gemäß der ersten Definition – lauten:

Hochzusammengesetzte Zahlen sind also folgendermaßen aufgebaut:

    und    

Wobei p_i die Primzahlen sind. Die Exponenten c_i seien von Null verschiedene natürliche Zahlen.

Die Anzahl der Teiler einer hochzusammengesetzten Zahl lässt sich mit folgender Formel bestimmen:

.

[Bearbeiten] Das Interessante an hochzusammengesetzten Zahlen

Eine hochzusammengesetzte Zahl „ist so verschieden zu einer Primzahl, wie eine Zahl es sein kann.“  (Zitat: Hardy^[1])

Ebendiese Eigenschaft, möglichst viele Teiler zu haben, bietet gewisse praktische Vorteile und wird deshalb oft bewusst gesucht. So basiert z. B. das Winkelgradsystem zu 360° eben auf einer hochzusammengesetzten Zahl. Auch die Stunden zu 24, Minuten und Sekunden zu je 60 Einheiten sowie das alte Münzsystem Karls des Großen: ein Pfund Silber gleich 240 Pfennige bzw. Denare wären hier zu nennen. Auch in Preußen, von 1821 bis 1873, war ein Taler gleich 360 Pfennige.

[Bearbeiten] Ramanujan und hochzusammengesetzte Zahlen

Als wohl einer der ersten Mathematiker beschäftigte sich der Inder Srinivasa Ramanujan (1887–1920) eingehend mit hochzusammengesetzten Zahlen. Dabei fand er eine interessante Eigenschaft hochzusammengesetzter Zahlen heraus: Bei einer hochzusammengesetzten Zahl sind die Exponenten der Primfaktorzerlegung nicht willkürlich, sondern genügen bestimmten Bedingungen. Der Exponent von 2 muss mindestens so groß sein wie der Exponent von 3; diese wieder mindestens so groß wie der Exponent von 5 usw. Dies kann dazu genutzt werden, hochzusammengesetzte Zahlen zu suchen. Ramanujan selbst stellte eine Liste von über hundert der ersten hochzusammengesetzten Zahlen auf. Er übersah dabei aber eine einzige. Heute sind Online-Listen über hunderttausend Zahlen dieser Zahlenfolge zu finden.

[Bearbeiten] Weblinks

• Besondere hochzusammengesetzte Zahlen
• Weiterführendes von Achim Flammenkamp, Universität Bielefeld.

[Bearbeiten] Referenz

1. ↑  “They are as unlike a prime as a number can be.”  Laut:  Kanigal, Robert. The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan. New York: Scribner, 1991, Seite 232.

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