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Funktionaldeterminante

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Die Funktionaldeterminante oder Jacobi-Determinante ist die Determinante der Jacobi-Matrix. Sie spielt bei der mehrdimensionalen Integralrechnung, also der Berechnung von Oberflächen- und Volumenintegralen, eine Rolle. Dort wird der Übergang zwischen Koordinatensystemen etwa mittels des Transformationssatzes beschrieben. Damit spielt sie auch eine wichtige Rolle in der Differentialgeometrie.

Inhaltsverzeichnis

1 Lokales Verhalten einer Funktion
2 Beispiele
- 2.1 Zylinderkoordinaten
- 2.2 Kugelkoordinaten

[Bearbeiten] Lokales Verhalten einer Funktion

Die Funktionaldeterminante gibt zu einem gegebenen Punkt wichtige Informationen über das Verhalten der Funktion $f$ in der Nähe dieses Punktes. Wenn beispielsweise die Funktionaldeterminante einer stetig differenzierbaren Funktion in einem Punkt $p$ nicht null ist, so ist die Funktion in einer Umgebung von $p$ invertierbar. Weiterhin gilt, dass bei positiver Determinante in $p$ die Funktion ihre Orientierung beibehält und bei negativer Funktionaldeterminante die Orientierung umkehrt. Der absolute Wert der Determinante im Punkt $p$ gibt den Wert an, mit dem die Funktion in der Nähe von $p$ expandiert oder schrumpft.

[Bearbeiten] Beispiele

[Bearbeiten] Zylinderkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Zylinderkoordinaten ( $r$ , $\varphi$ , $h$ ) in kartesische Koordinaten lauten:

$x = r \cos\varphi$

$y = r \sin\varphi$

$\! z = h$

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi & 0 \\ \sin\varphi & r\cos\varphi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}=r.$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $d V$ :

$\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\varphi,h)} \right| \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}h=r \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\varphi \, \mathrm{d}h.$

Genauso gut hätte man eine andere Reihenfolge der Zylinderkoordinaten wählen können. Die Funktionaldeterminante lautet dann beispielsweise:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,h,\varphi)}=\begin{vmatrix} \cos\varphi & 0 & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & 0 & r\cos\varphi \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-r.$

In das Transformationsgesetz geht jedoch immer nur der Betrag der Determinante ein, also ist das Ergebnis dann unabhängig von der gewählten Reihenfolge der Variablen, nach denen abgeleitet wird.

[Bearbeiten] Kugelkoordinaten

Die Umrechnungsformeln von Kugelkoordinaten ( $r, \theta,\varphi$ ) in kartesische Koordinaten lauten:

$x = r \sin \theta \cos \varphi$ ,

$y = r \sin \theta \sin \varphi$ und

$z = r \cos \theta \quad$ .

Die Funktionaldeterminante lautet also:

$\det\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}=\begin{vmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{vmatrix}=r^2\sin\theta.$

Folglich ergibt sich für das Volumenelement $d V$ :

$\mathrm{d}V=\left|\det \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} \right| \mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi=r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r\, \mathrm{d}\theta\, \mathrm{d}\varphi.$

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