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Eine elliptische Geometrie ist eine nichteuklidische Geometrie, in der es zu einer gegebenen Gerade g und einem Punkt P, der nicht auf der Geraden liegt, keine zu g parallele Gerade gibt, die durch P geht.
Da die elliptische Geometrie eine nichteuklidische Geometrie ist, liegt ihr eine Verneinung des Parallelenpostulats zu Grunde. Das bedeutet in diesem Fall, dass es keine Parallelen gibt. (Die andere Möglichkeit der Verneinung führt zur hyperbolischen Geometrie.)
Das einfachste Modell einer elliptischen Geometrie ist die sphärische Geometrie. Dort ist die "Ebene" eine Kugel, ein "Punkt" ist ein Paar von zwei Punkten die einander gegenüberliegen und eine "Gerade" ist ein Kreis, der den Mittelpunkt der Kugel als Mittelpunkt hat (Großkreis).
Als anschaulichen Unterschied zur euklidischen Geometrie kann man die Winkelsumme von Dreiecken betrachten, die hier immer über 180° liegt - die feste Winkelsumme von 180° in der euklidischen Geometrie ist äquivalent zum Parallelenpostulat. Wählt man zwei Geraden durch den Nordpol die miteinander den Winkel a bilden und die beide den Äquator im Winkel von 90° schneiden, so hat das entstandene Dreieck einen Winkel von (180+a)°.
Die elliptische Geometrie wird manchmal zu Ehren Bernhard Riemanns auch Riemannsche Geometrie genannt, obwohl dieser Ausdruck eigentlich eine Verallgemeinerung elliptischer Geometrien bezeichnet.
