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Ellipsoid

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Ellipsoid mit

(a, b, c) = (4,2,1)

Ein Ellipsoid ist die höherdimensionale Entsprechung einer Ellipse.

Inhaltsverzeichnis

1 Definition
2 Volumen des Ellipsoids
3 Oberfläche des Rotationsellipsoids
4 Oberfläche des triaxialen Ellipsoids
5 Siehe auch
6 Weblinks

[Bearbeiten] Definition

Ein Ellipsoid im dreidimensionalen Raum kann als affines Bild einer Sphäre (d. h. Kugeloberfläche) erklärt werden. Die Gleichung eines solchen Ellipsoids lautet bei Verwendung kartesischer Koordinaten

${x^2 \over a^2}+{y^2 \over b^2}+{z^2 \over c^2}-1=0$

mit positiven reellen Zahlen $a$ , $b$ und $c$ , den Längen der Halbachsen. Allgemein ist ein Ellipsoid die Lösungsmenge einer quadratischen Gleichung (quadratischen Form) mit positiv definiter symmetrischer reeller Matrix $Q = (q i j)$ :

$E= \left\{ x= (x_1\ldots x_n)\in R^n : x^T Q x = \sum_{1\le i,j\le n\ }q_{ij}x_i x_j = 1 \right\}.$

Durch Hauptachsentransformation kann man $Q$ auf eine Diagonalmatrix mit positiven Eigenwerten transformieren.

Die Eigenvektoren geben die Richtung und die Eigenwerte die dazugehörigen halben Längen der Hauptachsen an.

In der Linearen Optimierung werden Ellipsoide in der Ellipsoid-Methode verwendet.

Durch Rotation einer Ellipse um eine ihrer Achsen entstehen Rotationsellipsoide. Dabei sind zwei der Achsen gleich lang. Sind alle drei Achsen verschieden, spricht man von triaxialen (oder dreiachsigen) Ellipsoiden. Angenäherte Beispiele für Rotationsellipsoide sind rotierende Himmelskörper, etwa die Erde (vergl. Erdellipsoid) bzw. Planeten, Sonnen oder Galaxien. Elliptische Galaxien können auch triaxial sein.

[Bearbeiten] Volumen des Ellipsoids

Für das Volumen $V$ gilt:

$V = \frac{4}{3} \pi a b c.$

Hierbei sind $a$ , $b$ und $c$ die Halbachsen.

[Bearbeiten] Oberfläche des Rotationsellipsoids

Ohne Einschränkung sei $a \ge b \ge c$ . Weiter seien $k = \frac{c}{a}$ das Verhältnis der Halbachsen $c$ und $a$ und $\varepsilon = \sqrt{1 - k^2}$ die numerische Exzentrizität der Ellipse, die sich als Schnitt mit der $x z$ -Ebene $y = 0$ ergibt.

Dann ist für

a = b > c

(Rotationsachse = z-Achse)

$S = 2 \pi a^2 \left( 1 + k^2 \,\frac{\operatorname{artanh} \,\varepsilon}{\varepsilon} \right)$

und für

a > b = c

(Rotationsachse = x-Achse)

$S = 2 \pi c^2 \left( 1 + \frac{1}{k} \, \frac{\arcsin \varepsilon}{\varepsilon} \right).$

[Bearbeiten] Oberfläche des triaxialen Ellipsoids

Ohne Einschränkung sei $a > b > c$ .

Die Oberfläche des triaxialen Ellipsoids lässt sich im Allgemeinen nicht mit Hilfe von Funktionen ausdrücken, die man als elementar ansieht, wie z. B. artanh oder arcsin.

Von Legendre stammt eine Formel, welche diese Oberfläche mit Hilfe der elliptischen Integrale berechnet.

Mit Hilfe der Substitutionen

$k=\frac ab \frac{\sqrt{b^2-c^2}}{\sqrt{a^2-c^2}}$

(1)

und

$\varphi=\arcsin \frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$

(2)

lauten die Integrale

$E(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \sqrt{\frac{1-k^2 x^2}{1-x^2}}\ \mathrm dx$

und

$F(k,\varphi)=\int_0^{\sin \varphi} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}\sqrt{1-k^2 x^2}}\ \mathrm dx.$

Die Oberfläche dann den Wert

$S=2\pi c^2+\frac{2\pi b}{\sqrt{a^2-c^2}}\left(c^2 F(k,\varphi)+(a^2-c^2) E(k,\varphi)\right).$

(3)

Setzt man (1) und (2) sowie die Substitutionen

$u=\frac{\sqrt{a^2-c^2}}{a}$ und $v=\frac{\sqrt{b^2-c^2}}{b}$

in (3) ein, so ergibt sich die Schreibweise

$S=2\pi c^2+2\pi ab \int_0^1 \frac{1-u^2 v^2 x^2}{\sqrt{1-u^2 x^2} \sqrt{1-v^2 x^2}}\ \mathrm dx.$

[Bearbeiten] Siehe auch

[Bearbeiten] Weblinks

Wiktionary: Ellipsoid – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen und Grammatik

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