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Die Dimensionsbetrachtung ist eine Methode, um in der Physik Gleichungen auf ihre Korrektheit zu überprüfen oder auch die Dimension einzelner Terme solcher Gleichungen zu ermitteln. Als Kontrollelement zieht man dabei die physikalische Dimension der beteiligten Größen heran.
Als Beispiel soll die Gleichung für die Massenanziehungskraft der Massen m und M, die sich im Abstand r befinden, nach Isaac Newton dienen. In vereinfachter Form (nicht vektoriell) schreibt man sie
Wenn man nun die Dimension der Gravitationskonstanten G sucht, löst man die Gleichung nach G auf:
Wenn man von allen Größen der rechten Seite die Dimension kennt, kann man die der linken Seite ermitteln:
Auch der entgegengesetzte Weg ist möglich: Man erkennt einen Unterschied zwischen der Dimension der linken und rechten Gleichungsseite, bestimmt die Dimension des offensichtlich fehlenden Faktors und kann dann manchmal schon daraus schließen, welche Größe noch fehlt. Allerdings muss man sich hier vor diversen Fallen hüten, beispielsweise muss eine Größe, die die Dimension einer Energie hat, nicht unbedingt eine Energie sein, sondern kann u. a. auch ein Drehmoment sein, welches eher zufällig die gleiche Dimension aufweist.
Eine allgemeine Regel ist, dass Argumente von Funktionen – also z. B. log(), exp() oder sin() – dimensionslos sein müssen (wobei die Winkel als Argumente von trigonometrischen Funktionen bei Verwendung des Bogenmaßes auch als dimensionslos gelten).
Wenn man also z. B. eine Kondensatorentladung betrachtet, verläuft die Spannung U prinzipiell als abklingende Exponentialfunktion, die Zeit t steht als negativer Faktor im Exponenten:
Die Dimension des Faktors a muss demnach die einer inversen Zeit sein, damit das Produkt a·t dimensionslos wird. Wenn neben dem Kondensator und seiner Kapazität C nur noch ein Widerstand R beteiligt ist, erkennt man bei nährerer Betrachtung, dass das Produkt der Dimensionen von Kapazität und Widerstand eine Zeit ergibt. So kann man vermuten, dass der Proportionalitätsfaktor a sich wie folgt auf die Eingangsgrößen zurückführen lässt:
Herleitungen ganz anderer Art sind dann notwendig, um diese Vermutung zur Gewissheit werden zu lassen.
Wenn man eine physikalische Formel aufstellen möchte, kann die Dimensionsbetrachtung auch beim prinzipiellen Aufbau so einer Formel helfen. Wenn man beispielsweise weiß, dass sowohl die Fahrgeschwindigkeit als auch die Fahrzeit positiv zur zurückgelegten Fahrstrecke beitragen, könnte man auf den Gedanken kommen, diese beiden Größen zu addieren. Dies würde im Groben die angeführten Einflüsse wiedergeben. Das ist aber mathematisch unmöglich, da man keine verschiedenen physikalischen Dimensionen addieren kann, hier m/s und s.
In diesem Fall läuft es offensichtlich statt der Addition auf eine Multiplikation hinaus, und so kann schon diese Betrachtung zur Vermutung führen, dass für die Fahrstrecke (im einfachsten Fall) die Gleichung gilt: s = v·t. Auch hier sind dann Herleitungen ganz anderer Art notwendig, um diese Vermutung zur Gewissheit werden zu lassen.
* Wurzeln von Dimensionsgrößen treten vor allem im CGS-Einheitensystem auf, siehe beispielsweise bei esu und Gauß.
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