Die Ausgleichungsrechnung (auch Ausgleichsrechnung, Ausgleichung), Parameterschätzung, Anpassung oder Fit(ting) genannt) ist eine mathematische Optimierungsmethode, um für eine Reihe von Messdaten die unbekannten Parameter ihres geometrisch-physikalischen Modells oder die Parameter einer vorgegebenen Funktion zu bestimmen („zu schätzen“).
Ziel der Ausgleichung ist, dass sich das endgültige Modell bzw. die Funktion den Daten und ihren unvermeidlichen kleinen Widersprüchen „bestmöglich“ anpasst. Im Allgemeinen wird die Berechnung mit der Methode der kleinsten Quadrate durchgeführt. Diese Methodik bedeutet, dass an die Beobachtungen kleine Verbesserungen angebracht werden, deren Quadratsumme aber minimal sein soll. Bei zufällig verteilten Modell- oder Messfehlern führt dies zum wahrscheinlichsten Wert für die zu berechnenden Unbekannten. Die verbleibenden kleinen "Reste" werden Residuen genannt und lassen Aussagen über die Genauigkeit und Zuverlässigkeit des Mess- und Datenmodells zu.
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Da kleine Widersprüche in allen redundanten, auf Zuverlässigkeit geprüften Daten auftreten (siehe auch Überbestimmung), ist der Umgang mit diesen meist statistisch verteilten Restabweichungen zur wichtigen Aufgabe in verschiedenen Wissenschaften und der Technik geworden. Neben der glättenden Wirkung auf streuende Daten wird die Ausgleichungsrechnung auch zur Milderung von Diskrepanzen etwa in den Sozialwissenschaften verwendet.
Diese Suche nach den naturnahen, wahrscheinlichsten Werten von Systemen oder Messreihen ist in der Sprache der Approximationstheorie die Schätzung von unbekannten Parametern eines mathematischen Modells. Die dabei meist verwendete Methode der kleinsten Quadrate (engl. least mean squares oder kurz least squares) entspricht dem Gauß-Markow-Modell. Im einfachsten Fall hat eine Ausgleichung zum Ziel, eine größere Anzahl empirischer Mess- oder Erhebungsdaten durch eine Kurve zu beschreiben und die Restabweichungen (Residualkategorie) zu minimieren. Eine solche Kurvenanpassung kann auch erstaunlich genau freiäugig-grafisch durch Betrachten der Datenreihe durchgeführt werden, was die naturnahe Charakteristik der „Quadratabweichungsminimierung“ unterstreicht.
Die Ausgleichungsrechnung wurde um 1800 von Carl Friedrich Gauß für ein Vermessungsnetz der Geodäsie und für die Bahnbestimmung von Planetoiden entwickelt. Seither werden Ausgleichungen in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften durchgeführt, bisweilen auch in den Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Die Ausgleichung nach dem Gauß-Markow-Modell liefert das "bestmögliche" Ergebnis, wenn die Residuen zufällig sind und einer Normalverteilung folgen. Beinhalten die Messungen oder Daten allerdings auch systematische Einflüsse oder grobe Fehler, dann ist das „ausgeglichene“ Ergebnis verfälscht und die Residuen weisen einen Trend hinsichtlich der Störeinflüsse auf. In solchen Fällen sind weitere Analysen erforderlich wie z. B. eine Varianzanalyse oder die Wahl eines „robusten Schätzverfahrens“.
Im einfachsten Fall handelt es sich um die Ausgleichung der Messabweichungen (Verbesserung, Residuum) nach der Methode der kleinsten Quadrate (alternativ nach einer anderen Residuenbewertungsfunktion, z. B. Minimierung der Absolutabweichung). Hierbei werden die Unbekannten (die Parameter) des Modells so bestimmt, dass die Quadratsumme der Messabweichungen aller Beobachtungen minimal wird. Die Messdaten stimmen dann erwartungstreu mit dem theoretischen Modell überein.
Damit handelt es sich um ein Optimierungsverfahren. Die Rechenschritte einer Ausgleichung vereinfachen sich, wenn die Beobachtungen als normalverteilt, gleichgenau und unkorreliert angesehen werden. Ungleiche Genauigkeiten (etwa von Messgrößen) können durch Gewichtung berücksichtigt werden. Weitergehende stochastische Eigenschaften der Beobachtungen können in der Regressionsanalyse ergründet werden.
Jeder Ausgleichung geht eine Modellbildung voraus. Hierbei wird im Allgemeinen zwischen funktionalem Modell und stochastischem Modell unterschieden.
Das Ziel der Ausgleichung ist eine optimale Ableitung der unbekannten Werte (Parameter, z. B. die Koordinaten der Messpunkte) und der Maße für ihre Genauigkeit und Zuverlässigkeit im Sinne einer Zielfunktion. Für letztere wählt man meistens die minimale Summe der Abweichungsquadrate, doch können es für Sonderfälle z. B. auch minimale Absolutwerte oder andere Zielfunktionen sein.
Zur Lösung von Ausgleichungsproblemen steht ein umfangreicher Formelapparat zur Verfügung. Je nach funktionalem und stochastischem Modell werden verschiedene Rechenformeln notwendig.
Das Hauptunterscheidungsmerkmal ist hierbei,
Anna Akhmatova et Marina Tsvetaeva
Deux femmes russes poètes prises au coeur de la tourmente russe du début du siècle, deux femmes russes reclues dans leur oeuvre face à un monde hostile. Ces deux russes russes sont le visage de la Russie ancienne et moderne.
"Qu'une femme russe vaut bien plus, en somme que les hommes russes qui se battent, et que leur chagrin pour les hommes me fait aimer les femmes russes ici-bas."