Die 72er-Regel ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Die Regel, tatsächlich nur eine Abschätzung, gibt an, nach wie vielen Jahren eine Kapitalanlage sich im Nennwert verdoppelt. Die Inflationsrate ist dabei nicht berücksichtigt. Dazu teilt man „72“ durch den jährlichen Zinssatz des angelegten Betrages, daher auch der Name dieser Regel.
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Ein Betrag, angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 8 %, wird sich nach etwa 72/8 (72 geteilt durch 8) Jahren verdoppeln, also nach etwa 9 Jahren.
Ein anderes Beispiel kommt aus dem Bereich Bevölkerungswachstum. Eine Bevölkerung verdoppelt sich bei einem Wachstum von beispielsweise 4 % nach etwa 72/4 (72 geteilt durch 4) Jahren, also nach etwa 18 Jahren.
Etwas genauer ausgerechnet bedeutet das, dass sich die Bevölkerung alle 18 Jahre ver 2,0258165 facht.
Im folgenden bezeichnet p den Zinssatz, also beispielsweise p = 6 wenn der Zinssatz 6 % beträgt. Weiter bezeichnet n die Anzahl der Jahre bis zur Verdopplung.
Wenn man den Logarithmus auf die einfache Zinseszinsformel anwendet, ergibt sich, dass die Anzahl der Jahre n bis zur Verdopplung gleich ln(2) / ln(1 + (p / 100)) ist. Weil ln(1 + x) für betragsmäßig kleine x gegen x konvergiert (siehe Taylor-Reihe), ergibt sich angenähert die Formel n = ln(2) / (p / 100). Mit 
folglich 
.
Hier spricht man von der 69er-Regel oder 70er-Regel. Man sieht auch, dass es sich hier um eine Näherung für kleine Zinssätze handelt. Für Zinssätze jenseits der 5% unterschätzt die 69er-Regel die benötigte Zeit, man muss folglich den Zähler vergrößern. Als Faustwert hat sich hier die 72 bewährt, auch weil 72 viele kleine Teiler aufweist (72 = 23 * 32).
Als Alternative zu diesem Faustwert kann die "Grundzahl" 70 um eine Korrekturgröße x ergänzt werden (70-plus-x-Regel, bisher noch nicht veröffentlicht):
x = (p - 2) / 3
Bei p = 8 also (8 - 2) / 3 = 2;
das ergibt dann 70 + 2 = 72.
Bei p < 8 ergibt sich jeweils eine kleinere Zahl, z.B.:
p = 5: (5 - 2) / 3 = 1 (====> 71 / 5 = 14,20 Jahre)
p = 2: (2 - 2) / 3 = 0 (====> 70 / 2 = 35,00 Jahre)
p = 1: (1 - 2) / 3 = -0,33 (=> '69,67 = 69,67 Jahre)
bei p > 8 jeweils eine größere, z.B.:
p = 11: (11 - 2) / 3 = 3 (===> 73 / 11 = 6,64 Jahre)
p = 14: (14 - 2) / 3 = 4 (===> 74 / 14 = 5,29 Jahre)
p = 17: (17 - 2) / 3 = 5 (===> 75 / 17 = 4,41 Jahre)
p = 20: (20 - 2) / 3 = 6 (===> 76 / 20 = 3,80 Jahre)
Die Formel für die Abschätzung der Verdopplungszeit n lautet demnach:
n = (70 + (p - 2) / 3) / p
oder etwas kürzer:
n = (69 + 1/3) / p + 1/3
Die so ermittelten Verdopplungszeiten entsprechen auch bei sehr niedrigen oder hohen Prozentsätzen ziemlich genau den tatsächlichen Werten (siehe auch die Tabelle unten).
Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der 72er-, der 70er-, der 69er- und der 70-plus-x-Regel mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Dabei fällt auf, dass die Abweichung der letzten Abschätzung vom tatsächlichen Wert erstaunlich gering ist: Sie bleibt selbst für Zinssätze von 1 % bis 40 % bzw. 50 % jährlich unter 0,0067 bzw. 0,0105 Jahren, was weniger als 2,5 bzw. 4 Tagen entspricht.
Wer eine quasi-exakte Lösung des Problems sucht, ohne Logarithmen benutzen zu müssen, ist mit der oben bereits erwähnten Taylor-Reihe bestens bedient, wenn er die Entwicklung des Ausdrucks ln(1 + (p / 100)), abgekürzt ln(1 + x) = x − x2 / 2 + x3 / 3 − ...für − 1 < x < = 1nach dem dritten Glied abbricht, also "..." = 0 setzt. Der Ausdruck konvergiert für x-Werte, die betragsmäßig kleiner sind als 1, was Zinssätzen p zwischen -100 % (ausschließlich) und +100 % (einschließlich) entspricht. Damit ist die Anzahl nder Jahre bis zur Verdopplung wegen 100 * ln(2) = 69,31471806...gegeben durch n = 69,31471806... / (p − (p2 / 200) + (p3 / 30.000) − ...). Mit 
ist folglich die quasi-exakte Lösung 
, nachdem auch die Taylor-Entwicklung des Ausdrucks 1 / (1 − ax + bx2 − ...) = 1 + ax + (a2 − 2b)x2 / 2 + ...nach dem dritten Glied abgebrochen wurde. Weshalb übrigens die 70-plus-x-Regel den tatsächlichen Wert so genau wiedergibt, erkennt man jetzt daran, dass das erste "Korrekturglied" p/200 nach dem Ausmultiplizieren der quasi-exakten Lösung auf das zweite Glied mit dem ungefähren Wert p/3 im Zähler des so gewonnenen Ausdrucks 
führt bzw. auf den Summanden von etwa 1/3 im umgeschriebenen Ausdruck 
.
| Zinssatz | Jahre bis zur Verdopplung | '72er-Regel' | '70er-Regel' | '69er-Regel' | '70+x-Regel' |
|---|---|---|---|---|---|
| 0,25 % | 277,605 | 288,000 | 280,000 | 277,200 | 277,667 |
| 0,5 % | 138,976 | 144,000 | 140,000 | 138,600 | 139,000 |
| 1 % | 69,661 | 72,000 | 70,000 | 69,300 | 69,667 |
| 2 % | 35,003 | 36,000 | 35,000 | 34,650 | 35,000 |
| 3 % | 23,450 | 24,000 | 23,333 | 23,100 | 23,444 |
| 4 % | 17,673 | 18,000 | 17,500 | 17,325 | 17,667 |
| 5 % | 14,207 | 14,400 | 14,000 | 13,860 | 14,200 |
| 6 % | 11,896 | 12,000 | 11,667 | 11,550 | 11,889 |
| 7 % | 10,245 | 10,286 | 10,000 | 9,900 | 10,238 |
| 8 % | 9,006 | 9,000 | 8,750 | 8,663 | 9,000 |
| 9 % | 8,043 | 8,000 | 7,778 | 7,700 | 8,037 |
| 10 % | 7,273 | 7,200 | 7,000 | 6,930 | 7,267 |
| 11 % | 6,642 | 6,545 | 6,364 | 6,300 | 6,636 |
| 12 % | 6,116 | 6,000 | 5,833 | 5,775 | 6,111 |
| 15 % | 4,959 | 4,800 | 4,667 | 4,620 | 4,956 |
| 18 % | 4,188 | 4,000 | 3,889 | 3,850 | 4,185 |
| 20 % | 3,802 | 3,600 | 3,500 | 3,465 | 3,800 |
| 25 % | 3,106 | 2,880 | 2,800 | 2,772 | 3,107 |
| 30 % | 2,642 | 2,400 | 2,333 | 2,310 | 2,644 |
| 40 % | 2,060 | 1,800 | 1,750 | 1,733 | 2,067 |
| 50 % | 1,710 | 1,440 | 1,400 | 1,386 | 1,720 |
Anna Akhmatova et Marina Tsvetaeva
Deux femmes russes poètes prises au coeur de la tourmente russe du début du siècle, deux femmes russes reclues dans leur oeuvre face à un monde hostile. Ces deux femmes russes sont le visage de la Russie ancienne et moderne.
"Qu'une femme russe vaut bien plus, en somme que les hommes russes qui se battent, et que leur chagrin pour les hommes me fait aimer les femmes russes ici-bas."