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72er-Regel

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie

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Die 72er-Regel ist ein Begriff aus der Finanzmathematik. Die Regel, tatsächlich nur eine Abschätzung, gibt an, nach wie vielen Jahren eine Kapitalanlage sich im Nennwert verdoppelt. Die Inflationsrate ist dabei nicht berücksichtigt. Dazu teilt man $72$ durch die Prozentzahl des jährlichen Zinssatzes des angelegten Betrages, daher auch der Name dieser Regel.
Die Formel für die Abschätzung der Verdopplungszeit lautet:

$t \approx \frac{72}{p}$ (t in Jahren).

Inhaltsverzeichnis

1 Beispiele
2 Herleitung
3 Vergleich von Abschätzung und tatsächlichem Wert
4 Siehe auch

[Bearbeiten] Beispiele

Ein Betrag, angelegt zu einem jährlichen Zinssatz von 8 % ( $p\, %$ ), wird sich nach etwa $\tfrac{72}{8}$ Jahren verdoppeln, also nach etwa 9 Jahren (t). Ein anderes Beispiel kommt aus dem Bereich Bevölkerungswachstum. Eine Bevölkerung verdoppelt sich bei einem Wachstum von beispielsweise 4 % nach ungefähr $\tfrac{72}{4}$ Jahren, also nach näherungsweise 18 Jahren.

[Bearbeiten] Herleitung

Im Folgenden bezeichnet $p$ den Zinssatz, also beispielsweise $p = 6$ bzw. $p\, % = 6\, %\,,$ wenn der Zinssatz 6 % beträgt. Weiter bezeichnet $t$ die Zeit in Jahren bis zur Verdopplung.

Wenn man den Logarithmus auf die einfache Zinseszinsformel anwendet, ergibt sich, dass die Anzahl der Jahre $n$ bis zur Verdopplung gleich $\tfrac{\ln(2)}{\ln(1 + p\, %)}$ ist. Weil $\!\ \ln(1 + x)$ für betragsmäßig kleine $x$ gegen $x$ konvergiert (siehe Taylor-Reihe), ergibt sich angenähert die Formel $t \approx \tfrac{\ln(2)}{p\, %}\,.$ Mit $\ln(2)\approx 0{,}6931$ folglich $t \approx \tfrac{69{,}3}{p}\,.$

Hier spricht man von der 69er-Regel oder 70er-Regel. Man sieht auch, dass es sich hier um eine Näherung für kleine Zinssätze handelt. Für Zinssätze jenseits der 5 % unterschätzt die 69er-Regel die benötigte Zeit, man muss folglich den Zähler vergrößern. Als Faustwert hat sich hier die 72 bewährt, auch weil 72 viele kleine Teiler aufweist $(72 = 2^3 \cdot 3^2)\,.$

Als Alternative zu diesem Faustwert kann die „Grundzahl“ 70 um eine Korrekturgröße $x$ ergänzt werden (70-plus-x-Regel, bisher noch nicht veröffentlicht):

$t \approx \frac{70 + x}{p}\ \mathrm{mit}\ x = \frac{p - 2}{3}\,.$

Bei $p\, % = 8\, %\,,$ also $x = \tfrac{8 - 2}{3} = \bold 2\,;$ ergibt es $t \approx \tfrac{70 + x}{p} = \tfrac{70 + 2}{8} = 9\, a\,.$

Bei $p\, % < 8\, %$ ergibt sich jeweils eine kleinere Zahl, z. B.:

$p\, % = 5\, %:\ \frac{(5 - 2)}{3} = \bold{1} \Rightarrow t \approx \bold{71} : 5 = 14{,}2\, a\,;$

$p\, % = 2\, %:\ \frac{2 - 2}{3} = \bold{0} \Rightarrow t \approx \bold{70} : 2 = 35\, a\,;$

$p\, % = 1\, %:\ \frac{1 - 2}{3} = \bold{- 0,33} \Rightarrow t \approx \bold{69{,}67} = 69{,}67\, a\,.$

bei $p\, % > 8\, %$ jeweils eine größere, z. B.:

$p\, % = 11\, %:\ \frac{11 - 2}{3} = \bold{3} \Rightarrow t \approx \bold{73} : 11 = 6{,}64\, a\,;$

$p\, % = 14\, %:\ \frac{14 - 2}{3} = \bold{4} \Rightarrow t \approx \bold{74} : 14 = 5{,}29\, a\,;$

$p\, % = 17\, %:\ \frac{17 - 2}{3} = \bold{5} \Rightarrow t \approx \bold{75} : 17 = 4{,}41\, a\,;$

$p\, % = 20\, %:\ \frac{20 - 2}{3} = \bold{6} \Rightarrow t \approx \bold{76} : 20 = 3{,}80\, a\,.$

Die Formel für die Abschätzung der Verdopplungszeit $t$ lautet demnach:

$t \approx \frac{70 +\frac{p - 2}{3}}{p}$

oder etwas kürzer:

$t \approx \frac{69 + \frac{1}{3}}{p} + \frac{1}{3}\,.$

Die so ermittelten Verdopplungszeiten entsprechen auch bei sehr niedrigen oder hohen Prozentsätzen ziemlich genau den tatsächlichen Werten (siehe auch die Tabelle unten).

[Bearbeiten] Vergleich von Abschätzung und tatsächlichem Wert

Die folgende Tabelle vergleicht die Abschätzungen gemäß der ‚72er-, der 70er-, der 69er- und der 70-plus-x-Regel‘ mit den tatsächlichen Werten für typische Zinssätze. Dabei fällt auf, dass die Abweichung der letzten Abschätzung vom tatsächlichen Wert erstaunlich gering ist: Sie bleibt selbst für Zinssätze von 1 % bis 40 % bzw. 50 % jährlich unter 0,0067 bzw. 0,0105 Jahren, was weniger als 2,5 bzw. 4 Tagen entspricht.

Zinssatz $p\, %$	Zeit bis zur Verdopplung $t$ (in $a$ )	‚72er-Regel‘	‚70er-Regel‘	‚69er-Regel‘	‚70+x-Regel‘
0,25 %	277,605	288,000	280,000	277,200	277,667
0,5 %	138,976	144,000	140,000	138,600	139,000
1 %	69,661	72,000	70,000	69,300	69,667
2 %	35,003	36,000	35,000	34,650	35,000
3 %	23,450	24,000	23,333	23,100	23,444
4 %	17,673	18,000	17,500	17,325	17,667
5 %	14,207	14,400	14,000	13,860	14,200
6 %	11,896	12,000	11,667	11,550	11,889
7 %	10,245	10,286	10,000	9,900	10,238
8 %	9,006	9,000	8,750	8,663	9,000
9 %	8,043	8,000	7,778	7,700	8,037
10 %	7,273	7,200	7,000	6,930	7,267
11 %	6,642	6,545	6,364	6,300	6,636
12 %	6,116	6,000	5,833	5,775	6,111
15 %	4,959	4,800	4,667	4,620	4,956
18 %	4,188	4,000	3,889	3,850	4,185
20 %	3,802	3,600	3,500	3,465	3,800
25 %	3,106	2,880	2,800	2,772	3,107
30 %	2,642	2,400	2,333	2,310	2,644
40 %	2,060	1,800	1,750	1,733	2,067
50 %	1,710	1,440	1,400	1,386	1,720

Wer eine quasi-exakte Lösung des Problems sucht, ohne Logarithmen benutzen zu müssen, ist mit der oben bereits erwähnten Taylor-Reihe bestens bedient, wenn er die Entwicklung des Ausdrucks $\ln (1 + \tfrac{p}{100})\,,$ abgekürzt $\ln (1 + x) = x - \tfrac{x^2}{2} + \tfrac{x^3}{3} - \ldots\,$ für $- 1 < x \ge 1\,$ nach dem dritten Glied abbricht, also $\ldots = 0\,$ setzt. Der Ausdruck konvergiert für x-Werte, die betragsmäßig kleiner sind als 1, was Zinssätzen $p$ zwischen $- 100\,%\,$ (ausschließlich) und $+ 100\,%\,$ (einschließlich) entspricht. Damit ist die Zeit $t$ in Jahren bis zur Verdopplung wegen $100 \cdot ln(2)=69{,}31471806 \ldots$ gegeben durch $t = \tfrac{69{,}31471806 \ldots}{p - \tfrac{p^2}{200} + \tfrac{p^3}{30000} - \ldots}\,.$ Mit $\ldots \approx 0\,$ ist folglich die quasi-exakte Lösung $t \approx \tfrac{69{,}31471806}{p} \cdot (1 + \tfrac{p}{200}\ - \tfrac{p^2}{48000}),$ nachdem auch die Taylor-Entwicklung des Ausdrucks $\tfrac{1}{1 - a x + b x^2 - \ldots} = 1 + a x + (a^2 - 2 b) \cdot \tfrac{x^2}{2} + \ldots\,$ nach dem dritten Glied abgebrochen wurde.

Weshalb übrigens die 70-plus-x-Regel den tatsächlichen Wert so genau wiedergibt, erkennt man jetzt daran, dass das erste „Korrekturglied“ $\tfrac{p}{200}\,$ nach dem Ausmultiplizieren der quasi-exakten Lösung auf das zweite Glied mit dem ungefähren Wert $\tfrac{p}{3}\,$ im Zähler des so gewonnenen Ausdrucks $t \approx \tfrac{69{,}31471806 + 69{,}31471806 \cdot {\tfrac{p}{200} - 69{,}31471806 \cdot \tfrac{p^2}{48000}}}{p} = \tfrac{69{,}31471806 + 0{,}3465735903 \cdot p - 0,001444056626 \cdot p^2}{p}\,$ führt bzw. auf den Summanden von etwa $\tfrac{1}{3}$ im umgeschriebenen Ausdruck $t \approx {\tfrac{69{,}31471806}{p} + 0{,}3465735903 - 0{,}001444056626 \cdot p}\,.$

[Bearbeiten] Siehe auch

Zinsrechnung (In diesem Artikel finden sich auch weitere Formeln zur Zinseszinsrechnung.)
Zinseszins

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72er-Regel - En savoir plus

Encyclopédie Recherche.fr - 72er-Regel

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