Binární relace

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Binární relace je pojem z matematiky, vyjadřuje vztah (relaci) prvků jedné množiny k prvkům v množině druhé.

Příklad: Mějme množiny čísel $A = (1,5,8)$ , $B = (3,5,6)$ . Definujeme vztah (binární relaci) „je větší“ prvků z $A$ k prvkům z $B$ . Vidíme, že číslo $8$ (z množiny $A$ ) „je větší“ než číslo $3$ z $B$ . A říkáme, že prvek $8$ je v binární relaci „je větší“ s prvkem $3$ , zkráceně $(8$ „je větší“ $3)$ . Většinou prvky které jsou v binární relaci značíme jen jako uspořádanou dvojici $[8,3]$ . Všechny binární relace z tohoto příkladu lze popsat jako množinu uspořádaných dvojic $R = ([8,3],[8,5],[8,6],[5,3])$ . Na množinu $R$ lze nahlížet jako na podmnožinou kartézského součinu $A\times B$ . Množiny $(A, B, R)$ lze polužít jako definici binární relace.

[editovat] Formální definice

Binární relace je uspořádána trojice $[A,$ $B,$ $R]$ , kde $A$ a $B$ jsou libovolné množiny a $R$ je podmnožina kartézského součinu $A\times B$ . Množině $A$ se říká definiční obor, množině $B$ obor hodnot a množinu $R$ nazýváme graf relace.

[editovat] Značení relací

Binární relace značíme uspořádanou dvojicí $[x,$ $y]$ nebo pokud chceme rozlišit o kterou relaci se jedná pak $(x$ $R$ $y)$ , kde $x\in A, y\in B$ a $R$ je označení příslušné množiny z definice.

[editovat] Druhy relací

Binární relace je

symetrická pokud platí $(x$ $R$ $y)$ , pak $(y$ $R$ $x)$ .

Příkladem může být relace

R =

„je sourozenec“. Je-li

A

B

množinou všech mých příbuzných, pak musí existovat (já R sestra) a také (sestra R já). (Pokud sourozence nemám, je množina relací prázdná, i taková relace je symetrická).

tranzitivní pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $z)$ , pak platí $(x R z)$ .

Příkladem může být už zmíněná relace "je sourozenec" nebo relace "je vyšší". Já jsem vyšší než Petr,(a současně) Petr je vyšší než Ondřej, z toho plyne: Já jsem vyšší než Ondřej. Tranzitivní relací například není relace "být kamarád". Já jsem kamarád Petra, on je kamarád Ondřeje, z toho ale nevyplývá kamarádství mezi mnou a Ondřejem.

reflexivní pokud pro všechny x patřící X platí $(x$ $R$ $x)$ , to znamená pokud je prvek $x$ v relaci sám se sebou. (Samozřejmě, že první $x$ pochází z množiny $A$ a druhé $x$ pochází z $B$ . Mohou to být stejné množiny.)

Příklad reflexivní relace je "je stejný", příklad nereflexivní je "je vyšší". Neplatí, že (já "je vyšší"(než) já).

antisymetrická pokud $(x$ $R$ $y)$ a současně $(y$ $R$ $x)$ , pak platí $x = y$ .

Relaci, která je reflexivní, symetrická, a tranzitivní nazýváme relace ekvivalence.
Relaci, která je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní nazýváme částečné uspořádání.
Další typy: úplné uspořádání, dobré uspořádání.

[editovat] Operace

Na množině binárních relací jsou definovány následující operace - jejich výsledkem je opět relace

Inverzní relace k relaci R je taková relace R_-1 (R^-1) mezi množinami B a A, obsahující právě ty [y,x] ? B × A, že [x,y] ? R.
Relace složená z relací R a S je relace $T = S \circ R$ (R složeno s S) z množiny A do množiny C, která obsahuje právě taková [x,z] ? A × C, pro něž existuje takový prvek y v množině B, že [x,y] ? R a [y,z] ? S, tedy

$R \circ S = \{[x,z]; \exists y \in B: [x,y] \in R \and [y,z] \in S\}$

Průnik relací R a S je relace R?S obsahující pouze takové uspořádané dvojice, které se nacházejí současně v obou relacích. Tedy R?S = {[x,y]; [x,y]?R ? [x,y]?S}
Sjednocení relací R a S je relace R?S obsahující takové uspořádané dvojice, které se nacházejí alepoň v jedné z relací. Tedy R?S = {[x,y]; [x,y]?R ? [x,y]?S}

Aktuality MP3 :

femme russe

Femme russe Binární relace - Článek týdne

Blagues

Binární relace - Aktuality

"Si l'homme russe construit les routes, la femme russe trace les chemins."

"Lorsque les femmes russes ne vivront pas seulement à travers leur mari, les hommes russes n'auront plus peur de l'amour ni de la force de la femme russe et n'auront plus besoin de la faiblesse de l'autre pour être sûrs de leur masculinité."

© 2008 Netencyclo - Netencyclo Hlavní strana - Vyloučení odpovědnosti - Ochrana osobních údajů - Program Policies
Netencyclo, the Wikipedia mirror : the biggest multilingual free-content encyclopedia on the Internet. Stránka byla naposledy editována v 16:32, 17. 5. 2007. Veškerý text je dostupný za podmínek GNU Free Documentation License (vizte Autorské právo pro podrobnosti). All Wikipedia content is licensed under the GNU Free Documentation License (see details). Content on this web site is provided for informational purposes only. We accept no responsibility for any loss, injury or inconvenience sustained by any person resulting from information published on this site. We encourage you to verify any critical information with the relevant authorities.

- Binární relace -